L'ANNEAU . DES ENTIERS


L'objectif de cette fiche est d'étudier les propriètés de ., l'anneau des entiers relatifs . Vous devez connaitre les résultats écrits en caractères gras.
Vous devez savoir :
- manipuler les propriétés de la division euclidienne de deux entiers;
- trouver le P.G.C.D. de deux entiers;
- étant donnés un couple d'entiers (a,b), trouver un couple d'entiers (u,v) tels  que au+bv=P.G.C.D.(a,b) (Théorème de Bezout);
- décomposer un entier en produits de facteurs premiers;
- retrouver les lois d'addition et de multiplication dans l'anneau . / n..

Définition
L'ensemble . des entiers relatifs est formé de l'ensemble des entiers naturels N auquel on a rajouté les entiers négatifs. Il est muni de deux lois:
1) l'addition, notée +, qui en fait un groupe commutatif; (rappeler les axiomes qui définissent un groupe)
2) la multiplication, notée x ou . (ou rien du tout!), qui possède les propriétés suivantes:
- elle est associative (rappeler la définition de l'associativité);
- elle est distributive par rapport à l'addition, c'est à dire que pour tout triplet d'entiers (a,b,c) on a: c.(a+b) = c.a + c.b

En résumé . est muni de deux lois, l'addition et la multiplication telles que:
- (.,+) est un groupe commutatif.
- la loi de multiplication est associative et distributive par rapport à l'addition. Par suite . est un anneau comme tout ensemble possédant deux lois d'opérations internes vérifiant les mêmes propriétés que celles énoncées ci-dessus pour ..

De plus on a les propriétés suivantes:
- l'élément neutre pour la multiplication est 1 car pour tout entier k [[propersubset]] . on a: 1.k = k.1 = k
- la multiplication est commutative car pour tout couple d'entiers (a,b) on a: a.b=b.a
On dit alors que . est un anneau unitaire et commutatif.
- Si a.b=0 alors a=0 ou b=0; on dit que . est un anneau intègre.
-Tout élément k de . , différent de 0, est simplifiable pour la multiplication, c'est à dire: si a et b sont deux entiers: k.a=k.b entraîne a=b

Exercice 1. Montrez que 0 n'est pas simplifiable.
Des propriétés précédentes, déduire les règles de calcul (qu'on retrouvera dans tout anneau).

Exercice 2 ( à faire chez vous): AUTRE EXEMPLE D'ANNEAU
Soit A= F (,,,,,) l'ensemble des fonctions définies sur ,, à valeurs dans ,,.
Vérifier que, pour la somme et le produit usuels (les rappeler) entre fonctions réelles, A est un anneau commutatif et unitaire. Montrez que A n'est pas un anneau intègre ( c'est à dire.................?)

Relation d'ordre sur .
Définition: a>=b si et seulement si a-b>=0

Exercice 3. Montrez que si a>=b alors pour tout entier k a+k>=b+k
Exercice 4: Toute partie non vide de . admet-elle un plus petit élément pour l'ordre défini ci-dessus? Toute partie non vide de [[macron]] admet-elle un plus petit élément? Ceci est une proprièté caractéristique de [[macron]] , elle fait de lui un ensemble bien ordonné.

Diviseur
Définition: On dit que b est un diviseur de a , ou que b divise a, s'il existe un entier k tel que a=b.k. On dit aussi que a est un multiple de b.
Exercice 5: Montrez qu'un entier non égal à 1 ou à -1 possède au moins deux diviseurs positifs et distincts. Combien 0 en possède-t-il ?

Nombre premier
Définition: un entier est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs et distincts ( donc lesquels?).
Exemples: 2, 3, 5, 7,...., 31,..... ; 0, 1, -1 sont-ils premiers ?
Y-a-t-il des nombres entiers qui ont un nombre impair de diviseurs premiers ?

Exercice 6:
Factoriser Q(X) = X⁴ + 2X³ + 3X² + 4X + 2 dans R[X].
En déduire que dans toute base b >= 5 l'entier oac(12342;sup8(------)) ^{sup4((base b))} n'est pas premier.

Division euclidienne:
A tout couple d'entiers (a,b) tel que b!=0, on peut associer un unique couple d'entiers (q, r) vérifiant
a=bq+r avec 0 <= r <ïb ï
Effectuer la division de a par b, c'est trouver le couple (q,r). q est le quotient, r est le reste dans la division euclidienne de a par b.On dit parfois r est le reste modulo b de a ; où a est congru à r modulo b. On note a oal([[equivalence]];sdo10(b)) r.

Exercice 7:
i) Démontrer l'unicité et l'existence du couple (q, r). Pour l'existence, si b>0 on peut utiliser le fait que les intervalles [kb, (k+1)b[ , pour k [[propersubset]] ., constituent une partition de ..
ii) Déterminer le couple (q,r) dans les cas suivants:
- b est un diviseur de a;
- ïaï <ïbï ;
- a= -37 et b= -8.

Diviseurs communs à deux nombres: PGCD
Définition: On appelle diviseur commun à deux nombres entiers tout entier qui divise chacun d'entre eux.

Exercice 8:
1) Montrer que si c est un diviseur commun à a et b alors, quels que soient les entiers u et v, c est un diviseur de a.u + b.v . La réciproque est-elle vraie? Justifier votre réponse.
2) Montrer que parmi tous les diviseurs strictement positifs communs à deux nombres, il y en a un plus grand pour la relation d'ordre entre entiers. On l'appelle le plus grand commun diviseur de ces deux nombres, et on le note [[Delta]](a,b) ou pgcd(a,b) ou encore a[[logicaland]]b.

Définition: On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux si a[[logicaland]]b = 1 ( pgcd(a,b) = 1 )

Exercice 9:
Soient a et b deux entiers et a = bq+r le résultat de la division euclidienne de a par b.
1) Montrer que pgcd(a,b) = pgcd(b,r)
2) Ecrire un algorithme permettant de calculer pgcd(a,b)

DEFINITION D'UN IDEAL DANS UN ANNEAU; IDEAUX DANS .
Une partie non vide I d'un anneau A est appelée un idéal de A ssi I est un sous-groupe additif de A et si pour tout a [[propersubset]] I et tout b [[propersubset]] A on a ab [[propersubset]] I.

Exercice 10:
1) Montrer que l'ensemble 2. des nombres pairs et un idéal de l'aneau .
2) Montrer que l'ensemble n. des multiples d'un nombre n fixé est un idéal de ..
3) L'ensemble des entiers impairs est-il un idéal ?

THEOREME: Tout idéal I de . est de la forme n., c'est à dire I = { nk / k [[propersubset]] .}. On dit que I est engendré par l'élément n.
Démonstration: Soit I un idéal de .; notons I+={ k[[propersubset]] I / k>0 }. Deux cas se présentent:
a) I+ = Ø , alors I = {0} = 0.
b) I+ != Ø . Soit b = inf I+ alors b [[propersubset]] [[macron]] et b > 0.
Pour a [[propersubset]] [[Iota]], on a a = bq + r (par division euclidienne), avec 0<=r<b; mais r = a - bq [[propersubset]] [[Iota]]. Donc r = 0 ou r [[propersubset]] [[Iota]]+ , ce qui est absurde car r < b = inf I+. Donc a = bq, par suite I est inclus dans b.. Or b [[propersubset]] I, donc b. est inclus dans I. Par suite I = b..
Remarque: De plus, on a démontré que le générateur n est égal à Inf I+.

Proposition: Soient a et b deux entiers, alors l'ensemble I = {au+bv: u,v [[propersubset]] . } est un idéal de .. On l'appelle l'idéal engendré par a et b.

Exercice 11 : 
1) Démontrer cette proposition.
2) En déduire que, a et b étant deux entiers donnés, il existe d [[propersubset]] ., d>0, tel que
I = { au + bv: u, v [[propersubset]] . } = d.
3) Montrer que d = pgcd(a,b)
4) Montrer que tout sous-groupe de . est un idéal de .. Conclure.

CONSEQUENCE: Soient deux entiers a et b, alors il existe deux entiers u et v tels que au + bv = pgcd(a,b).

THEOREME DE BEZOUT: Deux entiers a et b sont premiers entre eux Si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.

Exercice 12 : Montrer que si a et b sont premiers entre eux, a^k et b^" le sont aussi.

THEOREME DE GAUSS: Si c divise le produit ab et si c est premier avec a alors c divise b.
Démonstration: D'après le Théorème de Bezout il existe u et v tels que cu + av = 1. Donc cbu + abv = b. Or c divise cbu et c divise ab donc c divise cbu et c divise abv, par suite c divise cbu + abv, donc c divise b.
Exercice 13 : Démontrer le :

COROLLAIRE : Si c et c' divisent a et sont premiers entre eux alors cc' divise a.

Exercice 14: Soit a et b premiers entre eux; trouver tous les couples (x,y) tels que ax=by.
Exercice 15: Démontrer que 325 et 441 sont premiers entre eux et trouver u et v tels que 325u + 441v = 1
Exercice 16: Soit a et b deux nombres entiers premiers premiers entre eux.
(i) Montrer que la solution générale (u,v) de au+bv=1 est somme d'une solution particulière de cette équation et de la solution générale de au+bv=0.
(ii) En déduire qu'il existe une unique solution (u,v) de au+bv=1 telle que 0 < u <ïbï et
-ïaï< v < 0.

P.G.C.D. DE PLUSIEURS ENTIERS:
Soient a1, a2,...,ap p nombres entiers. On note [[Delta]] = pgcd (a1, a2, ...,ap) = a1[[logicaland]]a2[[logicaland]]...[[logicaland]]ap le plus grand commun diviseur à ïa1ï, ïa2ï,..., ïapï.

Exercice 17
1) Montrer l'existence de [[Delta]].
2) Vérifier que I = { a1u1 + a2u2 + ...+apup : u1, u2,...,up [[propersubset]] .} est un idéal d. de ., et que d = [[Delta]].
3) En déduire:
Si [[Delta]] est le pgcd de p nombres entiers a1, a2, ...,ap alors il existe p entiers u1, u2,...,up tels que [[Delta]] = a1u1 + a2u2 + ...+apup .

PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (ppcm)
Soient a et b deux entiers; I = a. et J = b. sont les idéaux associés. Alors K = I[[intersection]]J est un idéal de .; le vérifier. Par suite K = p . avec p>0 entier naturel.

Exercice 18
Vérifier que p est un multiple de a et un multiple de b. Montrer que p est le plus petit (en valeur absolue) commun multiple des nombres a et b. On note souvent p = a[[logicalor]]b.

Décomposition en facteurs premiers.

Exercice 19
Donner la décomposition en facteurs premiers de 24, 51, 180.

Définition: Soit a un entier positif. On appelle décomposition en facteurs premiers de a la donnée de deux suites finies (p1, p2, ..., pn) et (k1, k2, ..., kn) telles que 2 <= p1 < p2 < ...< pn sont des entiers premiers et
a = p1^k1.p2^k2^....pn^kn.

Proposition: Tout entier (différent de 0 et de 1) admet une unique décomposition en facteurs premiers

Exercice 20: Montrer cette proposition (basée sur le théorème de Gauss).

Exercice 21: Quelle longueur peut-on donner aux côtés de cubes identiques avec lesquels on veut remplir complètement une caisse (H, L, P) = (546, 1071, 567).

Exercice 22 : Démontrer que si n>=2 et n non premier alors il existe un nombre premier p qui divise n et tel que p²<=n.
Déduire de ce résultat que si 467 n'était pas premier alors il existerait un diviseur premier p<=19. En déduire que 467 est un nombre premier.
Exercice 23:
Démontrer que si a et b éléments d'un anneau communitatif et unitaire, si r et s sont des entiers naturels, alors
a^rs - b^rs = (a^r - b^r)(a^r(n-1)+a^r(n-2)+b^r+...+a^r(nk)+b^r(k-1)+...+b^r(n-1)
(c'est une conséquence de la formule de Gauss)
Utiliser l'identité obtenue pour a = 2 et b = 1 pour démontrer que si 2ⁿ - 1 est premier alors n est premier.
Trouver la plus petite valeur de n pour laquelle la réciproque de ce résultat est fausse, c'est à dire pour laquelle n est premier mais 2ⁿ -1 ne l'est pas.
Exercice 24 (facultatif): Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Indication: Supposer qu'il existe un nombre fini k de nombres premiers: 1 < p1 < ...< pk. Considérer a = p1.p2...pk + 1. Vérifier que a est premier. Conclure.

Les anneaux . / n. (calcul modulo n)
Soit n > 0 fixé, n [[propersubset]] .. A tout entier a associons l'entier OAC(a;SUP12(_)), reste de la division de a par n. Alors OAC(a;SUP8(--)) [[propersubset]] {0, 1, 2,..., n-1} [[equivalence]] {OAC(0;SUP8(--)),OAC(1;SUP8(--)),...,OAC(n-1;SUP8(----))} est inclus dans ..
Notations possibles : ./n. = { 0, 1, 2,....,n-1}ou ./n. = {OAC(0;SUP8(--)),OAC(1;SUP8(--)),...,OAC(n-1;SUP8(----))}
Sur cet ensemble définissons deux lois internes: une addition et une multiplication:
- l'addition (modulo n) est définie par :
OAC(a;SUP12(_)) [[circleplus]] OAC(b;SUP12(_)) = OAC(a+b;SUP12(_))
- la multiplication (modulo n) est définie par:
OAC(a;SUP12(_)) cents OAC(b;SUP12(_)) = OAC(axb;SUP12(_))

Exercice 25:
Ecrire les tables de [[circleplus]] et cents respectivement pour n = 3 et n = 4 .
Exercice 26:
Montrer que la congruence modulo b définie par a oal([[equivalence]];sdo10(b)) r est une relation d'équivalence sur Z (symétrique, transitive et réflexive), dont les classes d'équivalence sont les éléments de ./n..

Exercice 27: Montrer que pour n de N, le nombre An = 3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ est multiple de 7.
Exercice 28: Quels sont les restes modulo 9 de x³, pour x [[propersubset]] N ? Existe-t-il des entiers x, y, t tels que x³ + y³ = 9t + 4 ?

Exercice 29: On appelle rn le reste modulo 27 de 10ⁿ, et on appelle suite fondamentale modulo 27 la suite (rn)sdo4(n) . Calculer et utiliser cette suite pour déterminer, sans effectuer la division, le reste de A = 742371149999 modulo 27.

Exercice 30:
1) Montrer que l'ensemble ./n. muni des deux lois [[circleplus]] et cents est un anneau commutatif.
2) Vérifier que ./3. est intègre et que ./4. n'est pas intègre.

Théorème: L'anneau ./n. est un corps si est seulement si n est un nombre premier.

Exercice 31: Montrer ce théorème.

Exercice 32 (facultatif): Montrer que l'application [[phi]] de . dans ./n. définie par :
[[phi]](a) = OAC(a;SUP12(_)) est un morphisme surjectif d'anneau.

Exercice 33 (facultatif et délicat) :
Soit p un entier premier et k un entier tel que 0<k<p.
1) Démontrer que Cs(^k;p), le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à p éléments, est divisible par p.
2) Démontrer que pour tout a[[propersubset]][[macron]], (a+1)^p - a^p - 1 est divisible par p (utilisez la formule du binôme).
3) Démontrer, pour tout b[[propersubset]][[macron]], que si b^p-b est divisible par p alors (b+1)^p-(b+1) l'est aussi . Déduisez-en le petit théorème de Fermat: pour tout p premier et tout entier a, a^p et a ont même reste dans la division par p, c'est-à-dire a^p oal([[equivalence]];sdo10(p)) a.
4) Vous allez utiliser le petit théorème de Fermat et la formule établie dansl'ex.23 de la page 7 pour démontrer le résultat suivant:
"le nombre N=mn(m⁶⁰-n⁶⁰) est divisible par 56 786 730 quels que soient les entiers naturels m et n".
(i) Démontrer que 61 est un diviseur premier de 56 786 730
(ii) Démontrer que N=(m⁶¹-m)n-m(n⁶¹-n) et en déduire que N est divisible par 61
(iii) Faire la même chose pour tous les diviseurs premiers de 56 786 730 et conclure.